哈工大数值分析考试复习

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数值分析考试复习

第一章 非线性方程（组）的数值解法

1、重根牛顿迭代\(x_{i+1}=x_i-r\frac{f(x_i)}{f^\prime(x_i)}\)

2、收敛性，\(|\varphi^\prime(x)|\leq 1\)收敛,\(|\varphi^\prime(x)|=0,|\varphi^{''}(x)|\neq0\)二阶收敛

3、牛顿法（逆Broyden）求解方程组（P11，13-14） \[ \begin{align} &一直F(x),求出A=F^\prime(x),每行分别对每个未知量求偏导\\ &x_i=x_0-A^{-1}F(x),x为n行1列矩阵 \end{align} \]

  1. 称序列\(\{x_n\}\)是p阶收敛，如果\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_{n+1}-x^*}{x_n-x^*}=c\)

  2. 迭代过程\(X_{k+1}=\varphi(x_k)\)收敛的充分条件是\(|\varphi^\prime(x)|<1\)

  3. Newton法可能不收敛（对）

第二章 线性方程组的数值解法

  1. Guass消去法，选主元为了舍去误差，A为对称正定阵不用选主元
  2. 范数：无穷范数（矩阵行绝对值相加最大值），1范数（矩阵列绝对值相加最大值），2范数（\(||A||_2=\sqrt{\rho(A^HA)},A^H\)为共轭转置，A内全部为实数\(A^H=A^T\),\(\rho\)为取矩阵特征值绝对值的最大值。
  3. 条件数 \(cond_\infty=||A||_\infty||A^{-1}||_\infty\)
  4. Doolitle(下对角阵对角线为1)、Crout（上对角对角线为1）
  5. Jacobi迭代，\(B_J=I-D^{-1}A\)
  6. Gauss-Seidel迭代，\(B_G=-(D+L)^{-1}U\)
  7. J或G迭代讨论收敛性，求出B矩阵最大特征值，绝对值<1收敛
  8. 共轭梯度法，考会提供公式，熟悉一下公式怎么用就好（P20.12）
  9. A为正定矩阵，则cholesky分解唯一

第三章 插值方法和数值逼近

  1. Language插值多项式\(\sum_{j=0}^{n}f(x_j)l_j(x)\) \[ \begin{align} &\sum_{j=0}^n l_j(x)\equiv1\\ &\sum_{j=1}^n x_j^kl_j(x)\equiv x^k\\ &\sum_{j=1}^n (x_j-x)^kl_j(x)\equiv 0\\ &\sum_{j=1}^n x_j^kl_j(0)=\begin{cases} 1\qquad k=0\\ 0\qquad k=1,2,\cdots,n\\ (-1)^nx_0x_1\cdots x_n\qquad k=n+1\\ \end{cases} \end{align} \]

  2. 差商\(f[x_0,x_1,\cdots,x_n]=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\)，\(f[0,1]=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}\)

  3. Language插值余项\(\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}P_{(n+1)}(x)\)

  4. 最佳平方逼近,离散考的概率远远大于连续，即最小二乘法（P34-35）

  5. 给经验函数，带有e，要预处理，两边取ln

  6. Hermit插值，n=r \[ \begin{align} &f(x)=\sum_{j=0}^nh_j(x)f(x_j)+\sum_{j=0}^{n}\overline{h_j(x)}f^\prime(x_j)+\frac{[p_{n+1}]^2}{(2n+2)!}f^{(2n+2)}(\xi)\\ &h_j(x)=[1-2(x-x_j)l^\prime_j(x_j)]l^2_j(x)\\ &\overline{h_j}(x)=(x-x_j)l^2_j(x) \end{align} \]

  7. 样条插值的边界，自身及其一阶导数、二阶导数连续，二阶导数端点值为0.

  8. 反差商（反差商表P31）

第四章 数值积分

  1. 代数精度（代数精度越高的求积公式计算的结果越准确是正确的）求：\(f(x)=x^k\)带回求积公式，若k阶时，左右结果不同，则代数精度为k-1阶
  2. 代数精度为2n-1阶则是高斯求积公式
  3. 待定系数法，设\(f(x)=1,x,x^2,\cdots\),代入求解系数即可
  4. 复化梯形公式\(E_n(f)=-\frac{b-a}{12}h^2f^{\prime\prime}(\eta)\)
  5. 复化Simpson公式\(E_n(f)=-\frac{b-a}{180}\cdot(\frac{h}{2})^4f^{(4)}(\eta)\)
  6. Language插值积分
  7. Romberg方法（有时间、精力就看，没有放弃，考的概率相对较小）

第五章 矩阵特征值与特征向量的计算

  1. 格尔什戈林(Gerschgorin)圆盘定理\(\Omega=\bigcup_{i=1}^nC_i\),其中\(C_i:|z-a_{ii}|\leq \sum_{j=1,j\neq i}^{n}a_{ij}\)
  2. 乘幂法\(u_0=\frac{v_0}{\max{v_0}},v_m=Au_{m-1},u_m=\frac{v_m}{\max{v_m}},\lambda_m=\max{v_m}\)

第六章常微分方程的初值问题的数值解法

  1. (必考)线性多步法

    1. 第一特征多项式\(\rho=r^{p+1}-\sum_{i=0}^pa_ir^{p-i}\)
    2. 第二特征多项式\(\sigma(r)=\sum_{i=-1}^pb_ir^{p-i}\)(a或b的角标和对应的y或f的角标相加为n)
    3. 特征多项式\(\pi(r;h\lambda)=\rho(r)-h\lambda\sigma(r)\),\(\overline{h}=h\lambda\)
    4. 相容充要条件\(\rho(1)=0,\rho^\prime(1)=\sigma(1)\)
    5. 绝对稳定性 \(|r_i(\overline{h})|<1\),\(r_i(\overline{h})\)是稳定多项式\(\pi(r;\overline{h})\)的根
    6. \(r_0(\overline{h})\)为\(\overline{h}\rightarrow 0\)使\(r_0(\overline{h})\)趋于1的根
    7. 收敛则满足根条件（根条件：\(\rho(r)\)所有根的模均不大于1，且模为1的根为单根）
    8. r阶方法判断\(C_q=\frac{1}{q!}\{1-[\sum_{i=0}^p(-i)^qa_i+q\sum_{i=-1}^p(-i)^{q-1}b_i]\}\),\(C_0=C_1=\cdots=C_r=0,C_{r+1}\ne0\),(r阶充分条件)
    9. 相容至少为1阶

  2. 4阶Rk法 \[ \begin{align} &y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(K_1+2K_2+2K_3+K_4)\\ &K_1=f(x_n,y_n)\\ &K_2=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}K_1)\\ &K_3=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}K_2)\\ &K_4=f(x_n+h,y_n+hK_3) \end{align} \]

  3. 改进Euler方法 \[ \begin{align} &y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_n+h,y_n+hf(x_n,y_n))]\\ &或者y_p=y_n+hf(x_n,y_n),y_c=y_n+hf(x_{n+1},y_n)\\ &y_{n+1}=\frac{1}{2}(y_p+y_c) \end{align} \]

  4. Adams预测、PECE校正大概率不考