弹塑性力学——矢量与张量

第一章 矢量与张量

矢量代数（向量）

矢量的定义

几何定义

客观量

• 大小 \(|\vec{a}|=a\)
• 方向、方位

代数定义

三维欧式空间 n维

\[ \forall O,x_1,x_2,x_3,\text{直角坐标基}\vec{e_1}\vec{e_2}\vec{e_3} \]

哑指标（哑标）

\(\vec{a}=a_i\vec{e_i}=\sum_{i=1}^{3}a_i\vec{e_i}\)

只要下标相同就表示求和

Kronecker记号 \[ \delta_{ij}=\begin{cases} 1,i=j\\ 0,i\neq j \end{cases} \quad (i,j=1,2,3) \] \[ \vec{a}\vec{b}=a_i\vec{e_i}b_j\vec{b_j}=a_ib_j\vec{e_i}\vec{e_j}=a_ib_j\delta_{ij}=a_ib_i \]

因为只有\(i=j\)时\(\delta_{ij}=1\)，其余项全为0

也叫换标记号

Levi-Civita记号 \[ \epsilon_{ijk}=\begin{cases} 1,当i,j,k为偶排列\\ -1,当i,j,k为奇排列\\ 0,当i,j,k中有相同者 \end{cases} \]

\[ \vec{e_i}\vec{e_j}=\epsilon_{ijk}\vec{e_k}\\ \vec{a}\vec{b}=a_i\vec{e_i}b_j\vec{e_j}=a_ib_j\vec{e_i}\vec{e_j}=a_ib_j\epsilon_{ijk}\vec{e_k} \]

${ijk}与{ij}之间的联系​

\(\epsilon_{pij}\epsilon_{pks}=\delta_{ik}\delta_{js}-\delta_{is}\delta_{jk}\)

张量代数

张量计算

1. 和、差 (同阶，同标价) \(\mathcal{A}+\mathcal{B}=A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}+B_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}=(A_{ij}+B_{ij})\vec{e_i}\vec{e_j}\)

2. 转置 \(A^T=(A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j})^T=A_{ji}\vec{e_i}\vec{e_j}\)

3. 对称运算 \(A^T=A\)

4. 反对称 \(A^T=-A\) \[ A=\begin{bmatrix} 0&-\omega_3&\omega_2\\ \omega_3&0&-\omega_1\\ -\omega_2&\omega_1&0 \end{bmatrix} \]

   反偶矢量 赝矢量

\[ \vec{\omega}=\omega_i\vec{e_i}\\ A_{ij}=\varepsilon_{ijk}\omega_k\\ \omega_k=-\frac{1}{2}\varepsilon_{ijk}A_{ij} \]

5. 迹 \(J(A)=A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}=A_{ij}\delta_{ij}=A_{ii}\)

6. \(\mathcal{\delta_{ij}}^\prime=\vec{e_i}\vec{e_j}=C_{ik}\vec{e_k}C_{js}\vec{e_s}=C_{ik}C_{js}\vec{e_k}\vec{e_s}=C_{ik}C_{js}\delta_{ks}\)

   \(\varepsilon_{ijk}\)三阶张量证明（作业）

张量与矢量运算

\[ \mathcal{A}=A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}\cdot\vec{a}=a_k\vec{e_k}\\ 整体记法 \mathcal{A}\\ 并矢记法 \vec{e_i}\vec{e_j}\\ 指数记法 A_{ij} \]

\[ \mathcal{A}\cdot\vec{a}=A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}a_k\vec{e_k}=A_{ij}a_k\delta_{jk}\vec{e_i}=A_{ij}a_j\vec{e_i} \]

作业： \[ \vec{a}\mathcal{A}=\mathcal{A}^T\vec{a} 证明\\ 若\vec{a}\mathcal{A}=\mathcal{A}\vec{a} \mathcal{A}是什么张量？ \]

\[ 如果A^T=-A,则\mathcal{A}\vec{a}=-\varepsilon_{ijk}\omega_k\vec{e_i}\vec{e_j}\cdot a_s\vec{e_s}=-\varepsilon_{ijk}\omega_{k}a_j\vec{e_i}=\vec{w}\times\vec{a} 作业，证明最后一步 \]

2. 叉积 \[ \mathcal{A}\times\vec{a}=A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}\times a_k\vec{e_k}=A_{ij}a_k \varepsilon_{jks}\vec{e_i}\vec{e_s}\\ \vec{a}\times\mathcal{A}= 作业（自己写)\\ \mathcal{A}\times \vec{a}\overset{?}{=} \vec{a}\times\mathcal{A} 作业 \]

   \[ \mathcal{A}与\vec{a},\vec{b}\\ 1) \vec{a}\cdot\mathcal{A}\cdot\vec{b}\\ 2) \vec{a}\times\mathcal{A}\times\vec{b}\\ 3) \vec{a}\cdot\mathcal{A}\times\vec{b}\\ 4) \vec{a}\times\mathcal{A}\cdot\vec{b}\\ 作业 \]

   张量间运算

   \[ 内积：\mathcal{A}\mathcal{B}=A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}\cdot B_{ks}\vec{e_k}\vec{e_s}=A_{ij}B_{ks}\delta_{jk}\vec{e_i}\vec{e_s}=A_{ij}B_{js}残缺\\ \mathcal{A}\times\mathcal{B}=A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}\times B_{ks}\vec{e_k}\vec{e_s}=A_{ij}B_{ks}\varepsilon_{jkp}\vec{e_i}\vec{e_p}\vec{e_s} \]

   双重运算： \[ \mathcal{A}:\mathcal{B}=A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}:B_{ks}\vec{e_k}\vec{e_s}=A_{ij}B_{ks}\delta_{jk}\delta_{is}=A_{sk}B_{ks}=A{ij}B_{ji}\\ 先内后外，先上后下 \]

   \[ \begin{align} \mathcal{A}\underset{\times}{\cdot}\mathcal{B}&=A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}\underset{\times}{\cdot}B_{ks}\vec{e_k}\vec{e_s}\\ &=A_{ij}B_{ks}\vec{e_i}\times\delta_{jk}\vec{e_s}\\ &=A_{ik}B_{ks} \end{align} \]

   重要式子

   单位张量：\(\mathcal{I}=\delta_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}\) \[ \mathcal{A}\times\cdot\mathcal{I}=(A_{32}-A_{23})\vec{e_1}+(A_{13}-A_{31})\vec{e_2}+(A_{21}-A_{12})\vec{e_3} \]

定理1：若\(\mathcal{A}\)对称\(\Leftrightarrow A\underset{\cdot}{\times} I=\vec{0}\)

定理2： \(\mathcal{I}\underset{\times}{\times}\mathcal{A}=J(A)I-A\) 作业：证明

\(若\mathcal{A}=\mathcal{0}\Leftrightarrow\mathcal{I}\underset{\times}{\times}A=\mathcal{0}\)

证明： \[ \text{充分性}\\ \mathcal{I}\underset{\times}{\times}\mathcal{A}=\mathcal{0}\Rightarrow J(A)\mathcal{I}-A=\mathcal{0}\\ J[J(\mathcal{A})\mathcal{I}-\mathcal{A}]=0\\ J[J(\mathcal{A})I]-J(A)=0\\ 3J(\mathcal{A})-J(\mathcal{A})=0\\ J(\mathcal{A})=0\\ \mathcal{A}=\mathcal{0}\\ \text{必要性} \]

3. 矢量分析

3.1 Hamilton 算子

\[ \nabla=\frac{\partial}{\partial x_1}\vec{e_1}+\frac{\partial}{\partial x_2}\vec{e_2}+\frac{\partial}{\partial x_3}\vec{e_3}\\ \nabla=\frac{\partial}{\partial x_i}\vec{e_i}\quad(Einstein求和约定)\\ \nabla \varphi=\varphi\nabla=\varphi_{,i}\vec{e_i} \]

\[ \forall 矢量场，\vec{a}(P)\\ \begin{align} \text{左点积}\quad \nabla\cdot\vec{a}&=\delta_i\vec{e_i}\cdot a_j\vec{e_j}=a_{j,i}\delta_{ij}=a_{j,j}=a_{i,i}\\ &=a_{1,1}+a_{2,2}+a_{3,3}=\frac{\partial a_1}{\partial x_1}+\frac{\partial a_2}{\partial x_2}+\frac{\partial a_3}{\partial x_3} \end{align} \]

\[ \text{Laplace算子}\\ \nabla^2=\partial_i\vec{e_i}\cdot\partial_j\vec{e_j}=\partial_{ij}\delta_{ij}=\partial_{ii}=\partial_{jj} 存疑\\ \nabla^2\varphi=\nabla\cdot\nabla=\partial_i\vec{e_i}\cdot\partial_j\vec{e_j}\varphi=\delta_{ij}\varphi_{,ij}=\varphi_{,ii} \]

\[ \text{矢量场的Gauss公式}\\ \iiint_\Omega \nabla\cdot\vec{a}\mathrm{d}\tau=\oiint_{\partial\Omega}\vec{a}\cdot\vec{n}\mathrm{d}\mathbf{s}=\oiint_{\partial\Omega}\vec{a}\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} \]

\[ \text{矢量场的Stokes公式}\\ \iint_S(\nabla\times\vec{a})\mathrm{d}s=\oint_{\partial S}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} \]

3.4 Helmholtz分解

\[ \begin{align} &\nabla\cdot(\nabla\times\vec{b})=0\quad 无源场\\ &\forall \vec{a},双重旋度\\ \nabla\times(\nabla\times\vec{u})&=\partial_i\vec{e_i}\times(\partial_j\vec{e_j}\times u_k\vec{e_k})\\ &=\partial_i\vec{e_i}\times u_{k,j}\varepsilon_{jks}\vec{e_s}\\ &=u_{k,ij}\varepsilon_{jks}\varepsilon_{isp}\vec{e_p}\\ &=-u_{k,ij}\varepsilon_{sjk}\varepsilon_{sip\vec{e_p}}\\ &=u_{k,ij}(\delta_{ji}\delta_{kp}-\delta_{ik}\delta_{kp})\vec{e_p}\\ &=u_{i,ip}\vec{e_p}-u_{p,i,i}\vec{e_p}\\ &=\nabla(\nabla\cdot\vec{u})-\nabla\nabla\cdot\vec{u}\\ &=\nabla(\nabla\cdot\vec{u})-\nabla^2\vec{u} \end{align} \]

分解定理： \[ \begin{align} &在\Omega上，\forall \vec{a}存在标量势\varphi和矢量势\vec{b},有\\ &\vec{a}=\nabla\varphi+\nabla\times\vec{b},且\nabla\vec{b}=0\\ \end{align} \] 证明： \[ \begin{align} 构造一个\vec{u}\\ \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{4\pi}\iiint \frac{\vec{a}(\zeta_1\zeta_2\zeta_3)}{\rho}\mathrm{d}\zeta_1\mathrm{d}\zeta_2\mathrm{d}\zeta_3\\ 其中\rho=\sqrt{(x_1-\zeta_2)^2+(x_2-\zeta_2)^2+(x_3-\zeta_3)^2}\\ \nabla^2\vec{a}=\vec{a}\\ \vec{a}=\nabla^2\vec{u}=\nabla(\nabla\cdot\vec{u})-\nabla\times(\nabla\times\vec{u})\\ \varphi=\nabla\cdot\vec{u}\qquad\vec{b}=\nabla\times\vec{u}\\ \nabla\cdot\vec{b}=0 \end{align} \]

4.张量分析

4.1矢量的梯度

左，右，\(\nabla\vec{a}=\partial_i\vec{e_i}\cdot a_j\vec{e_j}=a_{j,i}\vec{e_i}\vec{e_j}\)

​ \(\vec{a}\nabla=a_i\vec{e_i}\partial_j\vec{e_j}=a_{i,j}\vec{e_i}\vec{e_j}\) \[ 左：\\ \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{2,1}&a_{3,1}\\ a_{1,2}&a_{2,2}&a_{3,2}\\ a_{1,3}&a_{2,3}&a_{3,3} \end{pmatrix}\\ (\nabla\vec{a})^T=\vec{a}\nabla\\ \begin{align} J(\nabla\vec{a})&=\nabla\vec{a}\\ &=J(\vec{a}\nabla) \end{align} \]

4.2张量的散度和旋度

\[ \begin{align} &左右\\ \nabla\mathcal{A}&=\partial_i\vec{e_i}\cdot A_jk\vec{e_j}\vec{e_k}\\ &=A_{jk,i}\delta_{ij}\vec{e_k}\\ &=A_{ik,i}\vec{e_k}\\ \mathcal{A}\nabla&=A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}\cdot\partial_k\vec{e_k}\\ &=A_{ij,j}\vec{e_i}\\ \nabla\mathcal{A}^T=\mathcal{A}\nabla\quad A对称 \end{align} \]

\[ \begin{align} &\varphi\mathcal{I}----各向同性张量\\ \nabla\cdot(\varphi\mathcal{I})&=\partial_i\vec{e_i}\cdot\varphi\delta_{jk}\vec{e_j}\vec{e_k}\\ &=\partial_i\vec{e_i}\cdot\varphi\vec{e_i}\vec{e_j}\\ &=\varphi_{,i}\delta_{ij}\vec{e_j}\\ &=\varphi_{,j}\vec{e_j}\\ &=\nabla\varphi=(\varphi\mathcal{I})\nabla\\ 左右旋度\\ \nabla\times\mathcal{A}&=\partial_i\vec{e_i}\times A_{jk}\vec{e_j}\vec{e_k}\\ &=A_{jk,i}\varepsilon_{ijp}\vec{e_p}\vec{e_k}\\ \mathcal{A}\times\nabla&=A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}\times\partial_k\vec{e_k}\\ &=A_{ij,k}\varepsilon_{jkp}\vec{e_i}\vec{e_p}\\ &(\nabla\times\mathcal{A})^T=-A^T\times\nabla=-\mathcal{A}\times\nabla\\ &A对称，J(\nabla\times\mathcal{A})=J(\mathcal{A}\times\nabla)\overset{?}{=}0 作业 \end{align} \]

4.3 几个等式

\[ \begin{align} &1)\quad\nabla\cdot(\mathcal{A}\cdot\vec{a})=(\nabla\cdot\mathcal{A})\cdot\vec{a}+\mathcal{A}:(\vec{a}\nabla)\\ &2)\quad \nabla\cdot(\mathcal{A}\times\vec{a})=(\nabla\cdot\mathcal{A})\times\vec{a}+\mathcal{A}\underset{\cdot}{\times}(\vec{a}\nabla)\\ &3)\quad \nabla\times(\mathcal{A}\cdot\vec{a})=(\nabla\times\mathcal{A})-\mathcal{A}\overset{\cdot}{\times}(\vec{a}\nabla)\\ &4)\quad\nabla\times(\mathcal{A}\times\vec{a})=(\nabla\times\mathcal{A})\times\vec{a}-\mathcal{A}\underset{\times}{\times}(\vec{a}\nabla)\\ &i)\quad \nabla\times(\mathcal{I}\overset{\times}{\times}\mathcal{A})\times\nabla=\nabla(\mathcal{A}\cdot\nabla)+(\nabla\cdot\mathcal{A})\nabla-\nabla(\nabla\cdot\mathcal{A})\mathcal{I}-\nabla^2\mathcal{A}^T\\ &ii)\quad\mathcal{I}\underset{\times}\times(\nabla\times\mathcal{A}\times\nabla)=\nabla(\mathcal{A}\cdot\nabla)+(\nabla\cdot\mathcal{A})\nabla-\nabla\nabla J(A)-\nabla^2\mathcal{A}^T \end{align} \]

4.4

张量\(\mathcal{A}\)的Guass公式：\(\iiint_\Omega\nabla\cdot\mathcal{A}\mathrm{d}\tau=\oiint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\vec{s}\cdot\mathcal{A}\)

​ \(\iiint_{\Omega}\mathcal{A}\cdot\nabla\mathrm{d}\tau=\oiint_{\partial\Omega}\mathcal{A}\cdot\mathrm{d}\vec{s}\)

张量\(\mathcal{A}\)的Stokes公式：\(\iint_S\mathrm{d}\vec{s}\cdot(\nabla\times\mathcal{A})=\oint_{\partial S}\mathrm{d}\vec{r}\cdot\mathcal{A}\)

​ \(\iint_{S}(\mathcal{A}\times\nabla)\cdot\mathrm{d}\vec{s}=-\oint_{\partial S}\mathcal{A}\cdot\mathrm{d}\vec{r}\)

$$ \[\begin{align} &证明\\ \mathcal{A}&=A_{ij}\vec{e_i}\vec{e_j}\\ [\iiint_\Omega(\nabla\vec{a_j})\mathrm{d}i]\vec{e_j}&=[\oiint_\Omega\mathrm{d}\vec{s}\cdot\vec{a_j}]\vec{e_j}\\ &=\oiint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\vec{s}(\vec{a_j}\vec{e_j})\\ &=\oiint_{\partial\Omega}\mathrm{d}\vec{s}\cdot\mathcal{A}\\ \end{align}\] $$