离散数学：函数

函数

函数的定义

Definition

设f是集合A到B的关系，如果对每个\(x\in A\),都存在唯一的\(y\in B\),使得\(<x,y>\in f\),则称关系f是A到B的函数或映射，记为\(f:A\rightarrow B\).A为函数的定义域，记为\(domf=A\);f(A)为函数f的值域，记为ranf.

Definition

所有从A到B的一切函数构成的集合记为\(B^A\): \[ B^A=\{f|f:A\rightarrow B\} \]

函数的类型

Definition

设f是从集合A到B的函数，

• 对于任意\(x_1,x_2\in A\)，如果\(x_1\neq x_2\),都有\(f(x_1)\neq f(x_2)\),则称为f为从A到B的单射；
• 如果ranf=B，则称f为A到B的满射；
• 如果f既是单射又是满射，则称f为A到B的双射.

函数的运算

函数的复合

Definition

设\(f:A\rightarrow B,g:B\rightarrow C\)是两个函数，则f与g的复合关系\(f\circ g=\{<x,z>|x\in A,z\in C,\exists y \in B，使得y=f(x)且z=g(y)\}\)是从A到C的函数，称为函数f与g的复合函数(composition function),记为\(f\circ g:A\rightarrow C\).

tips:

函数复合的前提是\(ranf\subseteq domg\)；

\(dom(f\circ g)=domf,ran(f\circ g)\subseteq rang\);

对任意\(x\in A\),有\(f\circ g(x)=g(f(x))\);

\(I_A\circ f=f\circ I_B=f\)

函数的逆

Definition

设\(f:A\rightarrow B\)是函数，如果\(f^{-1}=\{<y,x>|x\in A,y\in B,y=f(x)\}\)是B到A的函数，则称\(f^{-1}:B\rightarrow A\)为函数f的逆函数(inverse function).